Modelo de autómata celular de la evolución de la topografía
En este post me voy a centrar en un modelo muy sencillo que describe la evolución de la topografía debido a la acción de la erosión fluvial. Los procesos de erosión tanto del agua como del viento esculpen el paisaje a través de la acción combinada de la erosión y la deposición de sedimentos. Este es un problema que siempre me ha fascinado, particularmente cuando lo comparas con los mecanismos que influencian la topografía durante el crecimiento de materiales.
El trabajo original, titulado Fluvial landsculpting and the fractal dimension of topology, fue publicado en 1991. Es una idealización de este proceso que utiliza un autómata celular y que por tanto es ideal como proyecto de fin de semana. Desgraciadamente, la información proporcionada en el paper no es suficiente como para reproducir las figuras, con lo que lo que lo que voy a implementar es una reinterpretación de los conceptos básicos introducidos en el trabajo. El énfasis en las características y propiedades fractales del paisaje es típica de la época, pero en este post no me voy a centrar en ellas.
Como su título en inglés indica, el modelo se centra en la evolución de la topografía en condiciones en las que la erosión está dominada por el efecto de la lluvia y el transporte de sedimentos por el agua. El modelo introduce reglas sencillas que controlan cómo la altura promedio en cada punto de red cuadrada \(h(x,y)\) evoluciona en función del tiempo, con cada punto representando un área del orden de 1 \(km^{2}\).
En lugar de considerar la evolución coordinada de todos los puntos del paisaje simultáneamente, el modelo considera que la evolución de la topografía se produce como una secuencia de sucesos independientes, cada uno representando un evento fundamental que causa la modificación del paisaje.
Evolución de la topografía
En cada evento, un punto se escoge al azar y se evoluciona \(h(x,y)\) de la siguiente manera:
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Difusión local: las diferencias locales de altura entre los vecinos cercanos se atenúan usando un modelo de difusión. Este proceso representa sucesos locales como la meteorización, el colapso de terrenos y el movimiento local de sedimientos.
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Transporte de sedimentos: si uno de los ocho vecinos tiene una altura inferior al punto escogido, una fracción del terreno es erosionada por el agua y se transporta a la región vecina de menor altura. Este proceso se repite hasta que se llega a un mínimo o se llega al borde de la simulación, acumulando sedimentos en cada paso.
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Deposición de sedimentos: si la concentración de sedimientos excede un límite se produce deposición de este exceso de material.
Reimplementación del modelo
El repositorio que contiene my aproximación en Python está aquí, y éste es un ejemplo de la evolución de la topografía:
Para reproducir una figura similar basta con correr el fichero run.py en el repositorio.
Cada evento comienza con proceso de difusión local. Como en el trabajo original, mi implementación considera un cambio proporcional a la diferencia de alturas entre celdas adyacentes. Sin
embargo, la implementación que he escogido realiza esta homogeneización celda a celda,
escogiendo el orden de los vecinos de manera aleatoria.
En un segundo paso, el modelo calcula la erosión y traza el camino en el que el agua circula, erosionando o depositando material dependiendo de la carga de aluvio o sedimientos. Una diferencia con el trabajo original es que para determinar la
siguiente celda donde se mueve el agua utilizo la pendiente en lugar de la diferencia
de altura. He incluido un parámetro en la clase TopoCA que permite
escoger cualquiera de las dos opciones.
El resultado es que cuando los parámetros se escogen de manera juiciosa, este modelo sencillo obtiene resultados como el de la figura, en el que la erosión en terrenos altos se compensa con la redeposición de sedimentos en terrenos bajos de baja pendiente. También es posible alcanzar resultados completamente incorrectos, sobre todo cuando aumentamos la cantidad máxima de sedimentos que el agua puede transportar, principalmente debido a lo simplificado que es el modelo de sedimentación cuando el agua alcanza un mínimo local.
Finalmente quiero recalcar que intención de estos modelos sencillos no es reproducir de manera exacta los resultados experimentales (de hecho, hay modelos mucho más sofisticados hoy en día) sino reproducir la dinámina de sistemas realmente muy complejos con un número mínimo de parámetros.
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